Das Missverständnis der Spitze bei Kurtosis
Sie lernen den historischen Hintergrund der Kurtosis kennen und erfahren, wie sich ihre Bedeutung im Laufe der Zeit entwickelt hat, und klären Missverständnisse über die Spitze auf.
Einleitung
Kurtosis, abgeleitet vom griechischen Wort „Kyrtos, was „gekrümmt“ oder „gewölbt“ bedeutet, ist ein Maß, das zur Beschreibung der Form einer Verteilung verwendet wird. Es konzentriert sich auf die Enden der Verteilung und bietet Einblicke in das Vorhandensein von Extremwerten oder Ausreißer. Traditionell wird Kurtosis mit Spitzigkeit in Verbindung gebracht und bezieht sich auf die Form der Spitze einer Verteilung. Dieser Begriff muss jedoch präzisiert werden, da Kurtosis keine wichtigen Informationen über die Spitze zu liefern scheint. Ein höherer Kurtosis-Wert wird oft als Hinweis auf eine schärfere Spitze angesehen. Im Vergleich dazu würde ein niedrigerer Kurtosis-Wert auf eine flachere Spitze hindeuten. Aber wie wir sehen werden, ist dieses Verständnis nicht ganz richtig.
Erfolgsfaktoren
- Weder kleine noch große Kurtosis liefern hilfreiche Informationen über die Form des Peaks einer Verteilung.
- Verteilungen mit kleiner oder großer Kurtosis können unterschiedliche Peakformen haben, z. B. flach, spitz oder bimodal.
- Kurtosis wird in erster Linie durch die Ausläufer einer Verteilung und nicht durch ihren Höhepunkt bestimmt.
- Der Zusammenhang zwischen Kurtosis und Peakedness ist nicht gültig und sollte verworfen werden.
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Die Kurtosis-Studie: Ein kurzer Überblick
Dieser Abschnitt bietet einen Überblick über die einflussreiche Studie von Peter H. Westfall mit dem Titel „Kurtosis als Höhepunkt, 1905 – 2014. RIP"
Das Papier widerlegt wirksam das seit langem bestehende Missverständnis, dass die Kurtosis ein Maß für die Spitze einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sei.
Autor: Peter H. Westfall, ein renommierter Statistiker und Professor, untersuchte das missverstandene Konzept der Kurtosis. Mit seinem Fachwissen auf diesem Gebiet war er in der Lage, wertvolle Erkenntnisse zu liefern und den Mythos zu zerstreuen, dass die Kurtosis ein Maß für die Spitze sei.
Ziel: Das Hauptziel von Westfalls Studie bestand darin, das Missverständnis zu entkräften, dass Kurtosis mit der Spitze einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammenhängt. Ziel des Artikels ist es zu zeigen, dass die Kurtosis keine hilfreichen Informationen über die Form des Spitzenwerts einer Verteilung liefert und nicht anhand der Spitze definiert werden sollte.
Methodik: Westfall näherte sich diesem Ziel durch die Analyse von Verteilungen mit unterschiedlichen Kurtosis-Werten, wie z. B. kleiner Kurtosis (κ = 2.4) und großer Kurtosis (κ ≈ 6,000). Anschließend präsentierte er überzeugende Beweise anhand von Beispielen für Verteilungen mit identischer Kurtosis, aber stark unterschiedlichen Spitzenwerten. Westfall lieferte auch Obergrenzen für den vom Zentrum für allgemeine Verteilungen bestimmten Anteil der Kurtosis und zeigte damit, dass die Kurtosis hauptsächlich durch die Enden einer Verteilung bestimmt wird.
Das Kurtosis-Missverständnis entlarven
Unwirksam als Maß für die Spitzenheit: Durch umfangreiche Untersuchungen hat Westfall gezeigt, dass die Kurtosis kein geeignetes Maß für die Spitze einer Verteilung ist. Er stellte verschiedene Beispiele für Verteilungen mit identischen Kurtosis-Werten, aber deutlich unterschiedlichen Peaks vor und zeigte damit effektiv, dass Kurtosis allein keine aussagekräftigen Informationen über die Form des Peaks einer Verteilung liefert.
Kleine und große Kurtosis-Werte: Westfall untersuchte die Auswirkungen sowohl kleiner als auch großer Kurtosis-Werte auf die Form des Spitzenwerts einer Verteilung. Er lieferte überzeugende Beispiele dafür, dass kleine Kurtosis-Werte (κ = 2.4) und große Kurtosis-Werte (κ ≈ 6,000) nichts über den Verteilungsgipfel aussagen, unabhängig davon, ob er flach, spitz oder bimodal ist.
Der wahre Zweck der Kurtosis
Messung des Schwanzverhaltens: Im Gegensatz zum weitverbreiteten Missverständnis misst Kurtosis das Schwanzverhalten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es gibt an, wie schwer oder leicht die Ausläufer im Vergleich zu einer Normalverteilung sind, und gibt Aufschluss über die Neigung der Verteilung zu Extremwerten oder Ausreißern.
Vergleich von Verteilungen: Kurtosis kann verschiedene Verteilungen hinsichtlich ihres Schwanzverhaltens vergleichen. Durch die Analyse von Kurtosis-Werten können Statistiker die mit verschiedenen Verteilungen verbundenen Risiken und Merkmale besser verstehen, was besonders im Finanz- und Risikomanagementkontext nützlich ist.
Ausreißer identifizieren: Da sich Kurtosis auf das Schwanzverhalten konzentriert, kann es dabei helfen, das Vorhandensein von Ausreißern in einem Datensatz zu identifizieren. Beispielsweise weisen Verteilungen mit hohen Kurtosis-Werten häufig auf eine höhere Wahrscheinlichkeit extremer Werte hin. Im Gegensatz dazu deuten niedrige Kurtosis-Werte auf ein geringeres Risiko für Ausreißer hin.
Beurteilung der Normalität: Obwohl die Kurtosis kein definitiver Test für die Normalität ist, kann sie als ergänzendes Instrument zur Beurteilung der Normalität einer Verteilung verwendet werden. In Kombination mit anderen statistischen Maßen wie Schiefe und dem Shapiro-Wilk-Test kann Kurtosis zusätzliche Einblicke in die zugrunde liegende Verteilung eines Datensatzes liefern.
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Schlussfolgerung
Während wir den wahren Zweck und die Anwendungen der Kurtosis untersuchten, haben wir uns mit dem weit verbreiteten Missverständnis der Kurtosis als Maß für die Spitzenverteilung befasst. Durch Westfalls Forschung haben wir gezeigt, dass die Kurtosis ein Maß für das Randverhalten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist und wertvolle Einblicke in die Neigung der Verteilung zu Extremwerten und Ausreißern bietet. Indem wir das Missverständnis der Spitzenverteilung entlarven, können wir ein tieferes Verständnis der Kurtosis und ihrer praktischen Auswirkungen in verschiedenen Bereichen wie Finanzen, Risikomanagement und Datenanalyse. Ein klares Verständnis des wahren Zwecks der Kurtosis ermöglicht es Analysten und Forschern, fundiertere Entscheidungen zu treffen, wenn sie statistische Modelle erstellen und verschiedene Verteilungen vergleichen. Es ist wichtig, die Einschränkungen veralteter Definitionen und Missverständnisse in der Statistik zu erkennen. Die genaue Interpretation der Kurtosis als Maß für das Tail-Verhalten fördert die statistische Kompetenz und ebnet den Weg für präzisere und praktischere Anwendungen dieses wichtigen Konzepts in der Datenanalyse und Entscheidungsfindung.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Kurtosis ist ein statistisches Maß, das zur Beschreibung der Verteilung von Datenpunkten in den Enden einer Häufigkeitsverteilung verwendet wird. Es gibt an, wie schwer oder leicht die Ausläufer der Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung sind.
In der Vergangenheit wurde Kurtosis aufgrund früher Definitionen fälschlicherweise mit der Spitze der Verteilung in Verbindung gebracht. Allerdings misst die Kurtosis die Schwere des Schwanzes, nicht die Spitze des zentralen Teils der Verteilung.
Eine hohe Kurtosis weist auf eine Verteilung mit schwereren Ausläufern und häufigeren Extremwerten hin, was auf eine größere Neigung zur Erzeugung von Ausreißern als bei einer Normalverteilung hindeutet.
Eine niedrige Kurtosis deutet auf eine Verteilung mit helleren Ausläufern und weniger Extremwerten hin, wodurch es weniger wahrscheinlich ist, dass es zu Ausreißern kommt als bei einer Normalverteilung.
Nein, Kurtosis liefert keine aussagekräftigen Informationen über die Spitze des Spitzenwerts einer Verteilung. Es konzentriert sich ausschließlich auf das Schwanzverhalten und das Vorhandensein von Ausreißern.
Kurtosis ist in Bereichen wie Finanzen und Risikomanagement hilfreich, um verschiedene Verteilungen zu vergleichen, das Risiko extremer Werte einzuschätzen und das Extremverhalten finanzieller Erträge zu verstehen.
Ein häufiges Missverständnis besteht darin, dass Kurtosis die Spitze einer Verteilung misst. In Wirklichkeit bewertet Kurtosis die Extremität der Datenpunkte in den Enden.
Die Studie von Peter H. Westfall entlarvte das seit langem bestehende Missverständnis, dass Kurtosis die Spitze misst, und zeigte durch Analyse, dass Kurtosis in erster Linie die Schwanzschwere misst.
Die Korrektur dieses Missverständnisses ermöglicht es Statistikern und Forschern, Kurtosis korrekt zur Analyse von Verteilungen zu verwenden, insbesondere zur Bewertung der Wahrscheinlichkeit von Ausreißern, was die Entscheidungsfindung in risikoempfindlichen Umgebungen verbessert.
Während die Kurtosis die Schwere der Ausläufer einer Verteilung misst, bewertet die Schiefe die Asymmetrie oder den Grad, in dem sich eine Verteilung zu einer Seite neigt. Beide beschreiben die Form von Datenverteilungen, konzentrieren sich jedoch auf unterschiedliche Aspekte.
